DIAGRAM VENN DAN OPERASI DUA HIMPUNAN

DIAGRAM VENN DAN OPERASI HIMPUNAN

1.    Diagram Venn

Diagram venn digunakan untuk menggambarkan himpunan. Himpunansemesta (S) digambarkan menggunakan segi empat dan himpunan bagian dari S digambarkan menggunakan lingkaran.

2.    Operasi Dua Himpunan

a.    Irisan (⋂)

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya menjadi himpunan A dan himpunan B.

Irisan himpunan dinotasikan dengan

A⋂B = {x | x∊A dan x∊B}

    A⋂B digambarkan sebagai berikut

    

      b.    Gabungan (⋃)

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B.

Gabungan himpunan dinotasikan dengan

A⋃B = {x | x∊A atau x∊B}

          A⋃B digambarkan sebagai berikut

c.    Selisih (-)

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A, tetapi bukan anggota dari B.

Selisih himpunan dinotasikan dengan

A – B = {x | x∊A, x∉B}

          A – B digambarkan sebagai berikut

d.    Komplemen

Komplemen dari A adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A.

Komplemen A disimbolkan dengan A’ atau Aᶜ.

Komplemen himpunan dinotasikan dengan

Aᶜ = {x | x∉B}

         Aᶜ  digambarkan sebagia berikut

3.    Sifat-Sifat Operasi Himpunan

a.    Komutatif

A⋂B = B⋂A

A⋃B = B⋃A

b.    Asosiatif

(A⋂B)⋂C = A⋂(B⋂C)

(A⋃B)⋃C = A⋃(B⋃C)

c.     Distributif

A⋂(B⋃C) = (A⋂B) ⋃ (A⋂C)

A⋃ (B⋂C) = (A⋃B) ⋂ (A⋃C)

d.    Dalil De Morgan

(A⋂B) ᶜ = Aᶜ ⋂ Bᶜ

(A⋃B) ᶜ = Aᶜ ⋃ Bᶜ

Rumus

n (S) = n (A) + n(B) – n (A⋂B) + n (x)

dengan

n (S)           = banyaknya anggota himpunan semesta

n (A)          = banyaknya anggota himpunan A

n (B)          = banyaknya anggota himpunan B

n (A⋂B)     = banyaknya anggota A⋂B

n (x)           = banyaknya anggota yang bukan himpunan A dan bukan himpunan B

Contoh:

1. Perhatikan diagram venn berikut!

Tentukan:

a.     S

b.    A

c.     B

d.    A⋂B

e.     A⋃B

f.      Aᶜ

g.     Aᶜ ⋂ B

h.    (A⋂B) ⋃  Aᶜ

Jawab:

a.     S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b.    A = {1,2,3,4}

c.     B = {6,7}

d.    A⋂B = {5}

e.     A⋃B = {1,2,3,4,5,6,7}

f.      Aᶜ = {6,7,8,9}

g.     Aᶜ ⋂ B = {6,7}

h.    (A⋂B) ⋃  Aᶜ = {5,6,7,8,9}

2.    Dalam sebuah kelas 20 siswa mengikuti ekstrakurikuler renang, 22 siswa mengikuti ekstrakurikuler sepak bola, sedangkan 15 siswa mengikuti kedua jenis ekstrakurikuler tersebut. Jika 8 siswa tidak mengikuti ekstrakurikuler renang maupun sepak bola, berapakah jumlah siswa di kelas tersebut?

Jawab:

Misalkan

A = {siswa yang mengikuti ekstrakurikuler renang}

B = {siswa yang mengikuti ekstrakurikuler sepak bola}

x = banyak siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler renang maupun sepak bola

n(S) = n (A) + n(B) - n (A⋂B) + n (x)

= 20 + 22 -15 + 8

= 35

Jadi,  jumlah siswa di kelas tersebut adalah 35 siswa.

LATIHAN SOAL

 1. Perhatikan diagram venn berikut!

Tentukan:

a.     S

b.    A

c.     B

d.    A⋂B

e.     A⋃B

f.      Aᶜ

g.     Bᶜ

h.    Aᶜ ⋂ B

a.     (A⋃B) ⋂  Aᶜ

b.    (A⋂B) ᶜ

2. Dalam suatu kelas terdapat 16 siswa yang menyukai dongeng dan 12 siswa menyukai novel. Jika di dalam kelas tersebut ada 40 siswa dan 5 siswa diantaranya tidak menyukai keduanya, tentukan berapa jumlah siswa yang menyukai dongeng dan novel?